Producto vectorial

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Se llama producto vectorial (o producto cruz) de dos vectores \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\) a otro vector \(\vec{c}\) cuyo módulo es igual al producto de los módulos de los dos primeros por el seno del ángulo que forman.

Para indicar el producto vectorial se usa tanto la notación \(\vec{a}\) x \(\vec{b}\) como \(\vec{a}\) ∧ \(\vec{b}\). Aquí utilizaremos la notación \(\vec{a}\) ∧ \(\vec{b}\).


Fórmula del producto vectorial de dos vectores

La dirección del vector producto vectorial (\(\vec{c}\)) es perpendicular al plano que forman \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\) y su sentido lo marca la regla de la mano derecha (o regla del sacacorchos).


Dibujo de la regla de la mano derecha para calcular el producto vectorial

El módulo del vector \(\vec{c}\) es igual al número que representa el área del paralelogramo formado a partir de los dos vectores iniciales.


Dibujo del paralelogramo generado por a y b, siendo su área igual al producto vectorial

Se puede obtener el producto vectorial de dos vectores \(\vec{a}\) (ax,ay,az) y \(\vec{b}\) (bx,by,bz) mediante matrices:


Fórmula del producto vectorial mediante matrices de dos vectores

Un ejemplo de producto vectorial es el momento de una fuerza respecto de un punto O. Este momento es otro vector \(\vec{M}\) producto vectorial del vector posición \(\vec{r}\), del punto de aplicación de la fuerza referido a O, por el vector fuerza \(\vec{F}\). O sea, \(\vec{M}\) = \(\vec{r}\) ∧ \(\vec{F}\).

Propiedades

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Si dos vectores son perpendiculares entre sí, el módulo de su producto vectorial será igual al producto de sus módulos (sen 90° = 1).

Pero si los vectores están en rectas paralelas o coincidentes, su producto vectorial es cero. Por lo tanto, será nulo el producto vectorial de un vector por sí mismo o por su opuesto (sen 0° = 0 y sen 180° = 0).

El producto vectorial no tiene la propiedad conmutativa, porque si se permutan los factores, el vector resultante, aunque tiene el mismo módulo, su dirección es la opuesta (propiedad anticonmutativa).


Propiedad anticonmutativa del producto vectorial de dos vectores

El producto vectorial cumple la propiedad distributiva:


Propiedad distributiva del producto vectorial de dos vectores

Ejemplo

Veamos un ejemplo:


Ejemplo del producto vectorial mediante matrices de dos vectores

Si dos vectores son perpendiculares entre sí, el módulo de su producto vectorial será igual al producto de sus módulos (sen 90° = 1).

Pero si los vectores están en rectas paralelas o coincidentes, su producto vectorial es cero. Por lo tanto, será nulo el producto vectorial de un vector por sí mismo o por su opuesto (sen 0° = 0 y sen 180° = 0).

El producto vectorial no tiene la propiedad conmutativa, porque si se permutan los factores, el vector resultante, aunque tiene el mismo módulo, su dirección es la opuesta (propiedad anticonmutativa).

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