Multiplicación de vectores

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Existen diferentes métodos para multiplicar vectores:

  1. Producto de un vector por un escalar
  2. Producto escalar
  3. Producto vectorial
  4. Producto mixto

Producto de un vector por un escalar

La multiplicación de un vector \(\vec{v}\) por un escalar n es otro vector \(\vec{nv}\) cuyo módulo será \(|n| \:\cdot\: |\vec{v}|\).

Si n es positivo, el vector producto tendrá el mismo sentido. Si n es negativo, el vector producto tendrá el sentido opuesto.


Dibujo del producto de un vector por un escalar.

Lo mismo diremos de la división de un vector por un escalar.

Producto escalar

Diferente a lo anterior es el producto escalar de dos vectores. Llamamos producto escalar (o producto interno) de dos vectores que forman entre sí un ángulo α, a un número escalar (atención, no un vector) igual al producto de los módulos de los dos vectores por el coseno del ángulo α que forman.


Fórmula del producto escalar de dos vectores

También podemos decir que el producto escalar de dos vectores es igual al módulo de un vector por la proyección del otro sobre él. Esta proyección es:


Dibujo del producto escalar de dos vectores como proyección de uno sobre el otro

Si los dos vectores tienen la misma dirección y sentido, el producto escalar será el producto de sus módulos (cos 0° = 1). En este caso, si los dos vectores fuesen iguales, el producto escalar sería igual a:


Dibujo y fórmula del producto escalar de dos vectores con la misma dirección

Si los dos vectores tienen la misma dirección pero sentido opuesto, el producto escalar será el producto de sus módulos con signo contrario (cos 180° = -1).


Dibujo y fórmula del producto escalar de dos vectores con la misma dirección pero sentido opuesto

Si los dos vectores son perpendiculares, su producto escalar será nulo (cos 90° = 0).


Dibujo y fórmula del producto escalar de dos vectores perpendiculares

El producto escalar de dos vectores de los que conocemos sus componentes se puede resolver mediante matrices o determinantes:


Fórmula y ejemplo para calcular el producto escalar de dos vectores mediantes matrices o determinantes

En este ejemplo, el producto escalar es -2.

Un caso de producto escalar sería el trabajo (magnitud escalar) que realiza una fuerza, cuando ocasiona un desplazamiento. Es el producto del módulo de la fuerza por la proyección sobre la dirección de ésta del desplazamiento producido.

Producto vectorial

Se llama producto vectorial (o producto cruz) de dos vectores \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\) a otro vector \(\vec{c}\) cuyo módulo es igual al producto de los módulos de los dos primeros por el seno del ángulo que forman.

Para indicar el producto vectorial se usa tanto la notación \(\vec{a}\) x \(\vec{b}\) como \(\vec{a}\) ∧ \(\vec{b}\). Aquí utilizaremos la notación \(\vec{a}\) ∧ \(\vec{b}\).


Fórmula del producto vectorial de dos vectores

La dirección del vector producto vectorial (\(\vec{c}\)) es perpendicular al plano que forman \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\) y su sentido lo marca la regla de la mano derecha (o regla del sacacorchos).


Dibujo de la regla de la mano derecha para calcular el producto vectorial

El módulo del vector \(\vec{c}\) es igual al número que representa el área del paralelogramo formado a partir de los dos vectores iniciales.


Dibujo del paralelogramo generado por a y b, siendo su área igual al producto vectorial

Se puede obtener el producto vectorial de dos vectores \(\vec{a}\) (ax,ay,az) y \(\vec{b}\) (bx,by,bz) mediante matrices:


Fórmula del producto vectorial mediante matrices de dos vectores

Veamos un ejemplo:


Ejemplo del producto vectorial mediante matrices de dos vectores

Si dos vectores son perpendiculares entre sí, el módulo de su producto vectorial será igual al producto de sus módulos (sen 90° = 1).

Pero si los vectores están en rectas paralelas o coincidentes, su producto vectorial es cero. Por lo tanto, será nulo el producto vectorial de un vector por sí mismo o por su opuesto (sen 0° = 0 y sen 180° = 0).

El producto vectorial no tiene la propiedad conmutativa, porque si se permutan los factores, el vector resultante, aunque tiene el mismo módulo, su dirección es la opuesta (propiedad anticonmutativa).


Propiedad anticonmutativa del producto vectorial de dos vectores

El producto vectorial cumple la propiedad distributiva:


Propiedad distributiva del producto vectorial de dos vectores

Un ejemplo de producto vectorial es el momento de una fuerza respecto de un punto O. Este momento es otro vector \(\vec{M}\) producto vectorial del vector posición \(\vec{r}\), del punto de aplicación de la fuerza referido a O, por el vector fuerza \(\vec{F}\). O sea, \(\vec{M}\) = \(\vec{r}\) ∧ \(\vec{F}\).

Producto de tres vectores: Producto mixto

Consideraremos el caso del llamado producto mixto de tres vectores. Es un número o magnitud escalar que se obtiene, partiendo del producto vectorial de dos vectores \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\), multiplicado escalarmente por un tercer vector \(\vec{d}\).


Fórmula del producto mixto de tres vectores

En primer lugar, se resuelve el producto vectorial. El vector resultante se multiplica escalarmente por el vector \(\vec{d}\).

Este producto de tres vectores es numéricamente igual al volumen del paralelepípedo formado por los vectores \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) y \(\vec{d}\).


Dibujo del paralelelepípedo generado por a, b y d

Efectivamente, hemos dicho antes que el módulo del producto vectorial es igual al área que forman los vectores factores, \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\).

El módulo del producto escalar es: │\(\vec{a}\) ∧ \(\vec{b}\)│ · │\(\vec{d}\)│ · cos α.

│\(\vec{d}\)│ · cos α) es la altura h del paralelepípedo formado por los vectores \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) y \(\vec{d}\), cuando se toma como base la cara formada por \(\vec{a}\), \(\vec{b}\). Esta es la demostración de que el producto mixto es igual al volumen del paralelepípedo de la figura.

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