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Ley de Hooke

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La ley de Hooke enuncia que cuando, debido a una fuerza externa, un muelle sufre una deformación respecto a su posición de equilibrio, la fuerza recuperadora que ejerce este muelle es directamente proporcional al cambio de longitud. La fuerza recuperadora es una fuerza conservativa.


Fórmula de la ley de Hooke

El signo negativo es debido a que el sentido de la fuerza recuperadora es de sentido contrario a la deformación (o elongación, o desplazamiento, o alargamiento).

  • Muelle en posición de equilibrio:


    Dibujo de un muelle en posición de equilibrio en la ley de Hooke

  • Muelle después de que una fuerza externa haya producido una deformación:


    Dibujo de un muelle después de una fuerza externa en la ley de Hooke

Esta ley es válida siempre que no se rebase el límite elástico del muelle o resorte.

La deformación elástica es cuando, al retirar la fuerza exterior, el muelle, o material en general, recupera la forma inicial. La deformación elástico-plástica es un intervalo de esfuerzo intermedio que no produce una deformación irreversible, aunque no se vuelve a la forma inicial.

La deformación plástica se produce cuando se aplica una fuerza tal que cuando ésta se retira, la deformación queda irreversible. Esto se puede ver en el gráfico:


Gráfico de tensión deformación en la ley de Hooke

La ley de Hooke se cumple en la zona elástica.

Se utilizan los parámetros unitarios esfuerzo o tensión, σ y deformación o alargamiento unitario ε. Sus expresiones son:

  • La fórmula del esfuerzo, que es la fuerza por unidad de superficie de la sección transversal del resorte (no producirá el mismo efecto una fuerza F sobre un alambre de 2 mm2 de diámetro que sobre otro de 3 mm2 de diámetro.


    Fórmula del esfuerzo en la ley de Hooke

  • La fórmula de la deformación, que es la relación entre la variación de longitud y la longitud total. (No es lo mismo un alargamiento de 2 cm al estirar de un alambre de 1 m de longitud que el mismo alargamiento, tirando con la misma fuerza, de un alambre de 4 m.


    Fórmula de la deformación en la ley de Hooke

  • La fórmula del módulo de Young:


    Fórmula del módulo de Young en la ley de Hooke

Ejercicio 1

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Un muelle en reposo mide 20 cm.


Dibujo 1 del ejercicio 1 de la ley de Hooke

Al colgarle un cuerpo de 1 kg su longitud es ahora de 30 cm.


Dibujo 2 del ejercicio 1 de la ley de Hooke

  • Calcular la constante recuperadora, k.
  • ¿Cuál será la longitud del muelle si después le colgamos un cuerpo de 3 kg?


    Dibujo 3 del ejercicio 1 de la ley de Hooke

Solución:

Primero se calcula k, igualando la fuerza peso con la fuerza recuperadora del muelle, pues el conjunto queda inmóvil tres el primer alargamiento:


Cálculo de k en el ejercicio 1 de la ley de Hooke

Conociendo k, hallaremos el segundo alargamiento:


Cálculo del segundo alargamiento en el ejercicio 1 de la ley de Hooke

Y la longitud total del muelle será:


Cálculo de la longitud total del muelle en el ejercicio 1 de la ley de Hooke

Una longitud del muelle con la segunda carga de 50 cm.

Ejercicio 2

Un muelle está fijo sobre una superficie lisa. Una bola de 100 gr se comprime contra el muelle, haciéndolo retroceder 6 cm. La constante recuperadora del muelle es k es 200 N/m. Si ahora soltamos, el muelle salta, empuja a la bola y regresa a su posición inicial. ¿A qué velocidad abandonará la bola el contacto con el muelle?


Dibujo del ejercicio 2 de la ley de Hooke

Solución:

En primer lugar se calcula la energía potencial elástica que se ha almacenado en el muelle al ser comprimido:


Cálculo de la energía potencial elástica en el ejercicio 2 de la ley de Hooke

Al liberar el muelle, esa energía potencial elástica del sistema muelle-bola es trasmitida a la bola que queda libre, transformándose la energía en energía cinética que adquiere la bola:


Cálculo de la energía cinética en el ejercicio 2 de la ley de Hooke

Finalmente, calcular la velocidad de salida de la bola.


Cálculo de la velocidad en el ejercicio 2 de la ley de Hooke

La bola sale disparada del muelle a 2,68 m/s.

Ejercicio 3

Calcular la energía potencial total almacenada en el primer ejercicio, sabiendo que el centro de gravedad de la masa de 3 kg ha quedado a 1,5 m sobre el suelo (despreciar el peso del muelle).

(Recordemos que cuelga de un muelle con una constante recuperadora k de 98,1 N/m y que ha producido en el muelle un alargamiento de 30 cm sobre su posición de reposo).


Dibujo del ejercicio 3 de la ley de Hooke

Solución:

La energía potencial total será la suma de la energía potencial elástica del muelle y la energía potencial gravitatoria de la masa.


Cálculo de la energía potencial en el ejercicio 3 de la ley de Hooke

La masa colgada de 3 kg y el muelle alargado han almacenado una energía potencial total de 48,56 J.

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