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Energía potencial gravitacional

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En el campo de gravedad terrestre, llamamos energía potencial gravitacional (o energía potencial gravitatoria) de un cuerpo en un punto, a la que posee respecto al punto de referencia que es el nivel de la superficie de la Tierra. Si partimos de ese nivel y elevamos una masa m hasta una altura h. Para ello realizamos un trabajo, al vencer la fuerza del peso en un desplazamiento hacia arriba h. Esa masa adquiere una energía, que no se expresa en movimiento. Pues esa energía, esa capacidad de realizar un trabajo es lo que se denomina energía potencial gravitatoria. Su expresión es:


Fórmula de la energía potencial gravitacional

Donde g es la aceleración de la gravedad ( a nivel del mar, g = 9,81 m/s2).

¿Cómo se obtiene?

De las ecuaciones del MRUA tenemos las fórmulas siguientes:


Cálculo 1.1 para ver como se obtiene la fórmula de la energía potencial gravitacional

Se sustituye aquí la aceleración a por g y el espacio o posición x por h).

Despejando t en la primera y sustituyéndola en la segunda, tenemos:


Cálculo 1 para ver como se obtiene la fórmula de la energía potencial gravitatoria

Que es la velocidad con la que llega al suelo en caída libre desde la altura h.

La energía cinética que adquiriría al llegar al suelo el cuerpo si se le soltase desde la altura h sería:


Fórmula de la energía cinética

Sustituyendo la expresión de la velocidad v que tendría en el momento del impacto, resulta:


Cálculo 2 para ver como se obtiene la fórmula de la energía potencial gravitatoria

Esto es el principio de conservación de la energía mecánica.

Sólo se puede medir variaciones de energía potencial gravitatoria, ya que se toma su variación desde puntos de referencia. Seguiría disminuyendo si, desde el nivel del mar dejásemos caer el cuerpo en un pozo.

Ejercicio

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Entre un ciclista y su bicicleta pesan 75 kg. Hallar la energía cinética que posee el conjunto ciclista-máquina cuando el ciclista pedalea a una velocidad de 25 km/h.

Calcular el aumento de su energía potencial cuando, desde un recorrido en llano, sube una rampa de 200 m de desnivel.

Solución:


Dibujo de un ejemplo de energia cinética y de energia potencial gravitatoria

La energía cinética será:


Cálculo en un ejemplo de la energia cinética

El aumento de energía potencial gravitacional:


Cálculo en un ejemplo de la energia potencial gravitatoria

Leyes de Kepler

Las leyes de Kepler están basadas en la observación del movimiento de los planetas. Facilitaron más tarde a Newton la formulación de la Ley de la gravitación universal.

Primera ley de Kepler: cada planeta describe una órbita elíptica alrededor del Sol. El Sol está situado en uno de los focos de la elipse.


Dibujo de la Primera ley de Newton

Segunda ley de Kepler: la recta que une cualquier planeta con el Sol, durante su desplazamiento en su órbita, a tiempos iguales barre áreas iguales.


Dibujo de la Segunda ley de Newton

(Una consecuencia es que los planetas van a más velocidad cuando pasan más cerca del Sol).

Tercera ley de Kepler: el cuadrado del periodo de revolución de cualquier planeta T (tiempo empleado en describir su órbita completa) es proporcional al cubo de la distancia media de ese planeta al Sol.


Dibujo de la Tercera ley de Newton

(La distancia media r es la la logitud del semieje mayor a de la elipse de la órbita).

T2 = C · r3

C es una constante válida para todos los planetas del sistema solar.


Fórmula de la constante C en la Tercera ley de Newton

En el caso de la Tierra, r = 1,496×1011 m. En términos astronómicos esa distancia es 1 UA.

La tercera ley de Kepler es aplicable a otros sistemas orbitales, por ejemplo al del satélite Luna alrededor de la Tierra. En cada caso, la constante C será diferente, donde el valor de M será la masa del cuerpo celeste alrededor del que se realiza la órbita. En el último caso, la M será la masa de la Tierra (5,97×1024 kg). En los planetas de nuestro sistema solar, M será la masa del Sol (1,99×1030 kg).

El valor de C no depende de la masa del cuerpo que órbita (la de los planetas en el sistema solar o el del satélite Luna orbitando a la Tierra).

Ejercicio 1

Dibujo del ejercicio 1 de la Tercera ley de Newton

La distancia media de Mercurio al Sol es de r = 57,9×1010 m y la masa del Sol es de 1,99×1030. Hallar el periodo de la órbita de Mercurio alrededor del Sol.

Solución:


Cálculo en el ejercicio 1 en la Tercera ley de Newton

El periodo de la órbita de Mercurio será de 87,94 días.

Ejercicio 2

El periodo de la órbita de un satélite alrededor de la Tierra es de 1 hora 45 min. Suponiendo que su órbita sea circular, ¿cuál será la distáncia del satélite a la superfície de la Tierra? (masa de la Tierra, 5,97×1024.


Dibujo del ejercicio 2 de la Tercera ley de Newton

Solución:


Cálculo en el ejercicio 2 en la Tercera ley de Newton

El satélite orbitará sobre la superficie de la Tierra a 999,1 km de altura.

Ley de gravitación universal

Dos cuerpos materiales se ejercen mútuamente una fuerza de atracción, en la dirección de la recta que une sus centros, directamente proporcional al producto de las dos masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.


Fórmula de la Ley de Gravitación Universal

(El valor de la constante universal es G = 6,67×10-11 Nm2 kg-2).

Por la ley de gravitación universal de Newton se puede demostrar la tercera ley de Kepler, suponiendo que la órbita sea circular:

Si un planeta orbita alrededor del Sol, la fuerza gravitatoria y la fuerza centrípeta serán iguales. (El radio de la órbita circular es r y v la velocidad orbital).


Cálculo 1 de la demostración de la Tercera Ley de Kepler

En el segundo término de esta ecuación, en la fuerza centrípeta, partiendo de la segunda ley de Newton, se ha sustituido la aceleración a por la aceleración centrípeta, (ac = v2 / r).

En la primera igualdad despejamos el término de la velocidad:

La velocidad del planeta y el tiempo que emplea en describir una órbita completa, que es el periodo T, están relacionados inversamente. (Ver velocidad angular en el MCU y velocidad tangencial.

Así, queda:


Cálculo 2 de la demostración de la Tercera Ley de Kepler

Y, sustituyendo:


Cálculo 3 de la demostración de la Tercera Ley de Kepler

O, lo que es lo mismo:


Cálculo 4 de la demostración de la Tercera Ley de Kepler

Con lo que se llega a la tercera ley de Kepler a través de la ley de gravitación universal de Newton.

Este valor de la constante C es aplicable a los planetas que orbitan alrededor del Sol. Para satélites que orbitan alrededor de un planeta hay que sustituir en la expresión MSol por la masa del planeta alrededor del que orbita el satélite, Mplan.

Energía potencial gravitatoria

La fórmula tiene validez general. Entre la Tierra de masa MT y una masa m separados de sus centros de masas por una distancia r, su energía potencial gravitacional es:


Fórmula general de la energía potencial gravitatoria

La Epg será cero a una distancia r = ∞.

(La masa de la Tierra MT es de 5,97×1024 kg).

Campo gravitatorio

Por la segunda ley de Newton:


Fórmula del campo gravitatorio

La energía potencial Ep de un planeta de masa m situado a una distancia r, aplicando la segunda ley de Newton será:


Fórmula de la energía potencial a un radio r

Por eso, a una distancia muy grande del astro de referencia (r → ∞) la energía potencial será cero.

En la energía potencial, solamente son relevantes los cambios, las diferencias, pues se toman valores sobre sistemas de referencia prefijados.

Pero para problemas del ámbito cotidiano, es más práctico elegir el valor cero para la energía potencial al nivel de la superficie de la Tierra.

El valor de la gravedad g

El valor de g varía en la superfície de la Tierra, según la latitud y la altura a la que se mida sobre el nivel del mar.

La Tierra tiene forma achatada por los polos, con una forma parecida a un elipsoide. El radio de la Tierra es máximo en el ecuador y mínimo en los polos. (Consideramos el radio medio de la Tierra de 6371 km).

Según la ecuación de la ley de gravitación universal de Newton, la fuerza de atracción gravitacional disminuye proporcionalmente al cuadrado de la distancia al centro de la Tierra.

Pero la fuerza centrífuga es máxima en el ecuador y cero en los polos. Esto hace que la fuerza centrífuga se combine en las diferentes latitudes de la Tierra con la atracción de la gravedad (que se dirige al centro geográfico de la Tierra), dando como resultante la aceleración de la gravedad g. El vector g, es el que ocasiona la fuerza peso. A nivel del mar varía con la latitud.

Valores de g en diferentes latitudes, al nivel del mar:

  • Polos = 9,832 m/s2
  • Latitud 45°r; = 9,806 m/s2 (gravedad normal)
  • Ecuador = 9,780 m/s2

La gravedad g en una determinada latitud depende de la altura. No es lo mismo g al nivel del mar que, con la misma latitud, en la cima de una montaña, donde g disminuye:


Fórmula de la gravedad g según la altura

Otra fórmula que determina también el valor de g a una distancia del centro de la Tierra ri es:


Fórmula 2 de la gravedad g según la altura

Ejercicio

Calcular el valor de g en la cima del monte Fuji, montaña más alta de Japón. Tiene 3776 m de altura sobre el nivel del mar.


Dibujo del ejemplo del Monte Fuji para el valor de la gravedad g

Solución:

Se aplica la fórmula citada de la variación de la aceleración de la gravedad en un punto del planeta en función de su altura sobre el nivel del mar, h.


Cálculo de la gravedad g en la cima del Monte Fuji

La gravedad en la cima del monte Fuji es 9,785 m/s2. Está a una latitud de 35⪚ 21 min. En esa latitud, el valor de g al nivel del mar es de 9,797 m/s2.

La gravedad, una fuerza conservativa

Se le llama a la fuerza de la gravedad fuerza conservativa porque el trabajo total realizado por ella sobre una masa a lo largo de una trayectoria es nulo, siempre que la altura del punto inicial y final sea la misma, independientemente de la forma del desplazamiento. Veamos un ejemplo:

Un hombre de masa m sube desde la planta baja al tercer piso, a una altura h. Después, vuelve al nivel de la planta baja, pero bajando por las escaleras. El trabajo total realizado por la fuerza de la gravedad será cero.


Dibujo del ejemplo 1 de la gravedad g como fuerza conservativa

Velocidad de escape

La velocidad de escape es la velocidad con la que hay que lanzar desde el nivel del suelo un satélite artificial para se mantenga orbitando alrededor de la Tierra (o de cualquier otro astro) sin caer otra vez a él.

Al lanzar el cohete con velocidad ve (velocidad de escape), se le comunica una energia cinética.

Por el principio de conservación de la energía mecánica tenemos esta ecuación. En la superficie de la Tierra, la energía total es cero.


Fórmula de la velocidad de escape

Donde g es la gravedad al nivel del mar (o del punto de lanzamiento).

Aplicando valores a esta fórmula, tenemos que la velocidad de escape de la Tierra es de 11,2 km/s.

Esa misma velocidad seria la del choque con la superficie terrestre de un cuerpo externo a la Tierra y sin velocidad inicial que fuese captado por su fuerza de la gravedad.

Si la velocidad de salida de la superficie terrestre fuese menor a esa velocidad de escape, en sucesivas órbitas iría perdiendo altura hasta chocar contra la Tierra.

Pero si fuera mayor, escaparía de la Tierra, no orbitando sobre ella.

Ejercicio

Determinar la velocidad de escape del planeta Marte, cuya masa MMart = 6,42 x 1023 kg y su radio de 3390 km.

Solución:

Aplicamos la fórmula de la velocidad de escape, pero ahora con los datos de Marte:


Cálculo de la velocidad de escape en Marte

Con lo que la velocidad de escape de Marte es de 5,026 km/s.

Satélite en órbita

Un satélite, para mantenerse en órbita alrededor de la Tierra debe igualar la fuerza centrífuga que le proporciona su velocidad orbital con la fuerza de la gravedad terrestre. Un equilibrio entre la inercia de la velocidad tangencial, en este caso, orbital, que tenderia a seguir en línea recta alejándose de la Tierra y la atracción de la gravedad:


Fórmula de la velocidad orbital

Vemos que la masa del satélite no influye.

La energía potencial gravitatoria en un satélite en órbita circular es el doble de su energía total. Sus energías cinética y potencial son:


Fórmula de la energía potencia gravitatoria de un satélite

Con lo que queda demostrado que la energía potencial gravitacional de un satélite en órbita es el doble de su energía total.

Ejercicio 1

¿Cuál debe ser la velocidad de un satélite puesto en órbita alrededor de la Tierra y que gire a 500 km sobre su superficie?


Dibujo del ejemplo 1 del satélite en órbita

Solución:

Aplicamos la fórmula de la velocidad orbital, teniendo en cuenta la masa de la Tierra y el radio de la órbita, que será la suma del radio terrestre más la altura sobre la que orbita el satélite:


Cálculo de la velocidad de un satélite en el ejemplo 1

Ejercicio 2

Un satélite de 430 kg órbita alrededor de la Tierra a 6840 km sobre la superficie terrestre. Hallar su energía potencial, energía cinética y energía total.


Dibujo del ejemplo 2 del satélite en órbita

Solución:

El radio de la órbita será la suma de la altura de la órbita sobre la superficie más el radio de la Tierra:


Cálculo del radio en el ejemplo 2 de satélite en órbita

Aplicaremos sucesivamente las fórmulas de las energías potencial y cinética que figuran arriba:


Cálculo de la energía potencial en el ejemplo 2 de satélite en órbita

La energía cinética, según la fórmula deducida, será:


Cálculo de la energía cinética en el ejemplo 2 de satélite en órbita

Y la energía total del satélite en órbita:


Cálculo de la energía total en el ejemplo 2 de satélite en órbita

La energía total es la mitad de la energía potencial gravitacional del satélite en órbita.

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