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Movimiento parabólico (Ejercicios resueltos)

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Ejercicio 1

Un portero saca el balón desde el césped a una velocidad de 26 m/s. Si la pelota sale del suelo con un ángulo de 40° y cae sobre el campo sin que antes lo toque ningún jugador, calcular:

  • Altura máxima del balón
  • Distancia desde el portero hasta el punto donde caerá en el campo
  • Tiempo en que la pelota estará en el aire

SOLUCIÓN:

Resolveremos el problema de dos maneras: aplicando directamente las fórmulas específicas o, en segundo lugar, partiendo de las ecuaciones de los dos movimientos, MRU y MRUA.

En primer lugar, descomponemos la velocidad inicial en sus componentes. La componente horizontal de la velocidad será:


Cálculo de la componente horizontal de la velocidad en el ejercicio 1 por el método 1

La componente vertical de la velocidad inicial será:


Cálculo de la componente vertical de la velocidad inicial en el ejercicio 1 por el método 1

La altura máxima será:


Cálculo de la altura máxima en el ejercicio 1 por el método 1

El alcance del saque del portero será:


Cálculo del alcance del saque del portero en el ejercicio 1 por el método 1

Calcularemos el tiempo de vuelo de la pelota:


Cálculo del tiempo de vuelo de la pelota en el ejercicio 1 por el método 1

Ahora vamos a resolver el mismo problema, pero partiendo de las fórmulas de los dos movimientos componentes del movimiento parabólico: el movimiento rectilíneo uniforme (MRU), que se corresponde con el eje horizontal, y el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), que se corresponde con el eje vertical. Recordemos que la aceleración aquí es la aceleración de la gravedad g, con valor -9,81 m/s2 (signo negativo por ser el sentido de la gravedad contrario al de la componente vertical de la velocidad inicial v0y).

En el punto en que el balón alcanza la altura máxima, su componente de velocidad vertical será vy = 0 m/s, ya que deja de subir y empieza a descender. Aplicamos la fórmula de la velocidad en el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA). En este caso será:


Cálculo de la componente vertical de la velocidad en el ejercicio 1 por el método 2

Como vy = 0:


Cálculo del tiempo en llegar el balón al punto más alto en el ejercicio 1 por el método 2

Tiempo que tarda en llegar el balón a su punto más alto. Ahora aplicamos la ecuación del espacio en el MRUA, para averiguar la altura máxima, sabiendo el tiempo que ha invertido en llegar a ella:


Cálculo de la altura máxima en el ejercicio 1 por el método 2

Nos queda saber el alcance. Como el movimiento parabólico es simétrico, tardará lo mismo en llegar al punto más alto que luego, desde allí, bajando llegar a tocar el césped, es decir 1,7 · 2 = 3,4 seg.

Aplicamos la fórmula del espacio del MRU, por más sencilla, que en este caso será:


Cálculo del espacio vertical recorrido en el ejercicio 1 por el método 2

Nota: la diferencia en los decimales en el resultado de los dos procedimientos se debe al redondeo.

Ejercicio 2

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Están jugando en el patio de un colegio, cuando el balón sale al exterior por encima de la valla del campo. Un hombre le da una patada al balón para devolverlo al interior. Sabiendo que el muro del patio tiene 3 m de altura, que el hombre está a 53 m del muro y que patea el balón a 24 m/s con un ángulo de 55°, averiguar si consigue que la pelota vuelva a entrar al patio pasando sobre el muro.

SOLUCIÓN:

En este problema, emplearemos también fórmulas de los dos movimientos componentes del movimiento parabólico: el movimiento rectilíneo uniforme (MRU), que se corresponde con el eje horizontal, y el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), que se corresponde con el eje vertical.

En primer lugar, volvemos a descomponer el vector velocidad inicial v0 en sus dos componentes. La componente horizontal de la velocidad será:


Cálculo de la componente horizontal de la velocidad en el ejercicio 2

La componente vertical de la velocidad inicial será:


Cálculo de la componente vertical de la velocidad en el ejercicio 2

Resolveremos el problema aplicando las ecuaciones de los dos movimientos, MRU y MRUA. Como el hombre chuta el balón a 53 m del muro y la componente horizontal de la velocidad es 13,77 m/s, por la ecuación del MRU tendremos:


Cálculo del tiempo en llegar el balón al muro en el ejercicio 2

Que será el tiempo en llegar al balón al muro, ya que éste está a 53 m. Ahora, para ver si lo sobrepasa, aplicamos una fórmula del MRUA:


Cálculo de la altura al impactar el balón en el muro en el ejercicio 2

Recordamos que la aceleración es la de la gravedad g, con signo contrario al de la componente vertical de la velocidad inicial.


Dibujo del ejercicio 2 del movimiento parabólico

La respuesta al ejercicio es que el hombre no ha conseguido meter el balón en el patio, puesto que el muro tiene una altura de 3 m y el balón ha impactado contra él a 2,98 m. Deberá volverlo a intentar, quizás acercándose más al muro.

Ejercicio 3

En una prueba de atletismo de lanzamiento de peso, el atleta logra una marca de 22 m. Sabiendo que la bola sale de su mano a 2 m del suelo y con un ángulo de 45°, averiguar la velocidad inicial del lanzamiento.

SOLUCIÓN:

Para resolver el problema, igualmente emplearemos las fórmulas del movimiento rectilíneo uniforme y del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, que componen,como se ha repetido, el movimiento parabólico. Del movimiento MRU usaremos la fórmula:


Cálculo de la fórmula del MRU en el ejercicio 3

Sabemos que v0 · cos θ es la componente horizontal de la velocidad v0). Despejamos el tiempo y la velocidad:


Cálculo para despejar el tiempo y la velocidad en el ejercicio 3

Ahora, vamos a la fórmula del espacio del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:


Cálculo de la fórmula del MRUA en el ejercicio 3

Sabemos también que v0 · sen θ es la componente vertical de la velocidad v0 y que la aceleración es la de la gravedad g con signo negativo, al ser contraria a la velocidad inicial. La altura final será cero, y = 0 m, puesto que la bola impacta en el suelo. La altura inicial será a la que suelta el atleta la bola de la mano, y0 = 2 m). Sustituimos por la expresión de t antes obtenida y ponemos los valores conocidos:


Cálculo del tiempo en un movimiento MRUA en el ejercicio 3

Despejamos de esta ecuación la t, pues tan 45° = 1.


Cálculo del tiempo en el que está en el aire el peso en el ejercicio 3

Volvemos a la expresión anterior de v0.


Cálculo de la velocidad de lanzamiento en el ejercicio 3

Por lo tanto, 14,1 m/s será la velocidad de lanzamiento v0 buscada.


Dibujo del ejercicio 3 del movimiento parabólico

44 Respuestas

  1. kevin arias dice:

    hola buenas noches nesesito hacer un problema que pueda ser representado por mi como por ejemplo lanzar una bola de papel desde un escritorio con una altura de 90 cm y bucar la vx y la vf

    • Respuestas dice:

      Kevin, un detalle sin importancia: una bola de papel no es el mejor objeto para aplicar las fórmulas del movimiento, porque la frena el rozamiento del aire.
      Si pretendes hacer un ejercicio de lanzamiento parabólico con altura inicial, tienes el ejercicio 3 que se ajusta bastante. Complementalo con las ecuaciones del MRU y MRUA que necesites.

  2. daniela dice:

    ayudaaaaaaaaaaa porfavor
    determine el coseno y seno del angulo con que se debe lanzar un movil con velocidad inicial de 10 m/sg para que su altura maxima sea igual a su distancia maxima

    • Respuestas dice:

      Ves a las fórmulas de Alcance horizontal máximo y de Altura máxima del Movimiento parabólico en UNIVERSO FÓRMULAS.
      Como te pide tu ejercicio, igualas las expresiones. Verás que para que las dos longitudes sean iguales, dependen exclusivamente del ángulo de lanzamiento θ. No interviene la velocidad inicial.
      Igualas las expresiones, simplificas eliminando v0² y g.
      Te quedará:
      sen² θ/2 = sen 2θ
      Por la fórmula del seno del ángulo doble que encontrarás en UNIVERSO FÓRMULAS:
      sen² θ/2 = 2*sen θ*cos θ
      Simplificando
      sen θ = 4*cos θ
      sen θ/cos θ = 4
      tan θ = 4
      θ = arc tan 4 = 75,96°

  3. Juan Carlos dice:

    Ayudaaaaaaaaa
    Un bombardero vuela horizontalmente a un altitud de 3200 pies con una velocidad de 400 pies/s cuando suelta una bomba. 5 segundos después, un cañón dispara un proyectil desde el suelo a 5000 pies horizontalemente desde el punto en que el avión soltó la bomba . Si el proyectil intercepta a la bomba a 1600 pies de altura ¿Cuáles son la velocidad inicial y el ángulo de elevación del proyectil?

  4. nelly dice:

    Un pequeño cohete es lanzado desde una tabla que está a 3.36 pies sobre la tierra. Su velocidad inicial es de 64 pies por segundo, y se puso en marcha en un ángulo de 30º con respecto al suelo. Encontrar la ecuación rectangular que modele este camino. ¿Qué tipo de camino sigue el cohete? (g=32 pies/𝒔^𝟐)

    • Respuestas dice:

      Componentes de la velocidad inicial:
      v0x = v0 · cos 30° = 2,91 pies/s
      v0y = v0 · sen 30° = 1,68 pies/s
      Calcular el tiempo en alcanzar la altura máxima (cuando la componente vertical de la velocidad es 0 pies/s).
      0 = v0ygt
      t = (1,68 / 32) = 0,05 s
      Altura máxima alcanzada por el proyectil:
      hmax = v0y² / 2g + 3,36 pies
      Tiempo de caida desde el punto máximo hasta impactar sobre el suelo:
      tcaída = √ (2hmax/g)
      Alcance del proyectil:
      x = v0x · ttotal

  5. gabriela dice:

    una bola se lanza desde una ventana en un piso superior de un edificio. a la bola se le da una velocidad inicios de 8m/s, a un angulo de 20.0º bajo la horizontal. golpea el suelo 3.00 s después.
    a)¿ a que distancia, horizontalmente, desde la base del edificio, la bola golpe el suelo?
    b) encuentre la altura desde la que se lanzo la bola
    c)¿cuanto tarda la bola en llegar a un punto 10.0m abajo del nivel del lanzamiento?

  6. Lisay Cervantes dice:

    me pueden hacer el favor de desarrollarme este ejercicio:
    un cañon dispara un proyectil con velocidad de 60 m/seg formando un angulo con la horizontal de 30 grados

    • Respuestas dice:

      Lisay, el Ejercicio 1 de esta página tiene los mismod datos de partida: velocidad inicial y ángulo de lanzamiento.
      Creo que merece la pena que desarrolles tu ejercicio siguiendo paso a paso el de UNIVERSO FÓRMULAS, fijándote en las ecuaciones del MRU y del MRUA.
      Venga, inténtalo.

  7. Dayana Vallejo dice:

    desde la base de una montaña cuya pendiente es 35ª (grados) se lanza a la cima una piedra con una velocidad de 30m/s y 60ª (grados) sobre la horizontal determina
    a.-la aultura a la que impacta la piedra de la base en la montaña
    b.-si el impacto sucede antes de lo que la piedra haya alcanzado la altura maxima
    c.-velocidad en la que impacta la piedra
    d.-el tiempo que tarda en imppactar
    PORFAVOR es de urgencia este ejercicio!!!!!!!!

  8. Jin dice:

    Pues a mi el ej 2 me da 3,006 m. Lo hice bien?

    • Javier dice:

      Perdón 3,006 en vez de 9,8***

    • Javier dice:

      Seguramente lo hayas hecho bien, te habrá pasado igual que a mi.
      En mi caso he puesto en la gravedad 9,8 cosa que en el solucionario es 9,81 nose pq y por ese decimal te sale 2,98 en vez de lo que debería salir que es 9,8.
      Por eso es importante que en estos ejercicios se tenga en cuenta cada uno de los decimales de la gravedad y el resto de magnitudes.

    • Respuestas dice:

      El valor medio que se suele tomar para ejercicios en física es de g = 9,81 m/s².
      Es un valor medio, ya que en la superficie de la Tierra y al nivel del mar varia, según la latitud.
      Los datos en el problema arrojan un resultado muy ajustado a la altura del muro, de ahí, seguramente, se habrán generado vuestras dudas.

    • Respuestas dice:

      Repasa las operaciones, decimales y redondeos. Exactamente son 2,9833 m.

  9. Yose dice:

    Se lanza un cohete a 45° el mismo que tiene un alcanse de 5.46m y un tiempo de 1.89s
    calcule la altura maxima y alcance maximo

    • Respuestas dice:

      Consulta las fórmulas directas de la página “Movimiento parabólico” en UNIVERSO FÓRMULAS.
      Como parece que, si no te entendido mal, ya tienes el alcance máximo, que es de 5,46 m, sabes el ángulo de disparo y el tiempo, puedes hallar la altura máxima.
      Posiblemente el planteamiento sea otro y no lo que te he interpretado, ya que un cohete que para llegar a 5,48 m necesite 1,89 s no parece un cohete muy normal.

  10. Ximena dice:

    Ayud porfa! Se dispara un cañón con un ángulo de 15º, saliendo la bala con la velocidad de 200 m/s. Se
    desea saber:
    5
    a) La distancia teórica que alcanzará la bala sobre la horizontal.
    b) La velocidad con que llega a tierra en valor absoluto y dirección.
    c) Si tropieza con una colina que se encuentra a mitad de su alcance, de 300 m de altura.
    d) En caso afirmativo, ¿qué solución podríamos dar si queremos hacer blanco en el mismo
    objetivo y con el mismo cañón disparando desde el mismo sitio?

    • Respuestas dice:

      Tienes la fórmula del alcance máximo. El proyectil llega a tierra con la misma velocidad de salida y con mismo ángulo, pero de sentido opuesto (180° – 15°). Como impacta sobre la colina, pues si aplicas la altura máxima te dará 136,5 m, para que salve la colina e impacte en el mismo punto del suelo se deberá disparar con un ángulo de 165° (180° – 15°), ya que sen 2*15° = sen 2*165°, ya que el ángulo doble interviene en la fórmula del alcance máximo.

  11. fernando contreras dice:

    3. Un cañón realiza un disparo con un ángulo de 45° y una velocidad inicial de 20 m/s. Calcular la altura después de 3 segundos de lanzamiento.
    Datos Formula sustitución
    Angulo 45° y= V0 (sen 45°) t – ½ g t2 y= 20 m/s ( sen 45°) 3s – ½ (9.8 m/s2)(3^2)
    V0: 20 m/s y =42.42m/s-44.1m/s
    y: ¿? y=
    T: 3s
    g:=9.8 m/s2

  12. freddy alvarado dice:

    me ayudadas en un ejercicio de fisica de movimiento parabolico

  13. Marco dice:

    Necesito despejar Seno de theta en la formula del tiempo de vuelo. t_v=(2v_o Senθ)/9,8

  14. SANTIAGO dice:

    POR QUE EN EL PRIMER EJERCICIO CUANDO HALLAN LA ALTURA MAX EN Y NO TOMAN EN CUENTA EL SEN

    • Respuestas dice:

      En las fórmulas para hallar la altura máxima se debe y se ha tenido en cuenta el seno. Si puedes especificar un poco más tu duda…

  15. Reina dice:

    Como se resolvería este ejercicio : 3.0 s después de que se lanza un proyectil al aire desde el suelo, se observa que tiene una velocidad =( 8.9i+3.6j)m/s dónde el eje x es horizontal y el eje y es positivo hacia arriba.
    determine:
    a) el alcance horizontal del proyectil
    b) sua altura máxima encima del suelo
    c) su rapidez y ángulo de movimiento justo antes de que caiga al suelo
    Podria atudarme 🙁

    • Respuestas dice:

      La componente vertical de la velocidad en un movimiento parabólico es:
      v(t)j = (v0 – gt)j. El valor de la aveleración de la gravedad, 9,81 m/s2 y de sentido contrario a la velocidad inicial.
      Sabemos que la componente vertical v(t)j a los 3 segundos es de 3,6 m/s
      La componente vertical de la velocidad inicial (igual y de sentido contrario a la de llegada al suelo) v0 = 33,03 m/s.
      El ángulo de salida (simétrico al de llegada) es arc tan 33,03/8,9 = 1,308 rad (74,91°).
      La componente horizontal, que es constante, es de 8,9 m/s.
      La rapidez de salida o llegada, que son idénticas, porque sale y llega a nivel del suelo se sabe, pues se saben sus componentes.
      Sólo falta aplicar las fórmulas del alcance y la altura máxima.

  16. william dice:

    ifi angulo con x fx fy
    6 48 4
    8 9
    35 5
    2 3

  17. michell zapata dice:

    desde un acantilado se disparó una bala de cañón con una velocidad horizontal de 68 m/s si a los 2.5s toca el suelo cuál es el alcance de la bala , la altura del acantilado es de con respecto a la aceleración de la bala en los puntos marcados a y b se puede afirmar que

    • Respuestas dice:

      El alcance es la componente horizontal de la velocidad de salida (que en este caso coincide que es de 68m/s) multiplicada por el tiempo.
      e = v · t = 68 · 2,5 = 170 m.
      Los otros datos aparecen en una redacción que la veo confusa. Lo siento.

  18. JHOANNA dice:

    un cañón dispara horizontalmente un proyectil con velocidad inicial de 100m/s desde un puente ; al mismo instante , 10 m por debajo del puente y desde una distancia de 200 m se desplaza un tanque enemigo hacia el cañón con velocidad constante de 39,86m/s ¿impactara el proyectil sobre el tanque?

    • Respuestas dice:

      El tiempo que tarda el tanque en llegar a la línea de tiro es:
      t = e / v = 200 / 39,86 = 5,01 segundos.
      El proyectil, cuya componente vertical de su movimiento parabólico se corresponderá con un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, con g =9,81 m/s2 (caída libre),tardará en alcanzar el suelo (h = 10 m) 1,43 segundos:
      10 m = 1/2 · g · t2 = 1/2 · 9,81 · t2; t = 1,43 s
      En efecto, en este tiempo,el proyectil habrá recorrido una trayectoria con una componente horizontal, Xx:
      Xx = Vx · t = 100 · 1,43 = 143 m
      Es decir que, desconociendo la longitud del puente ni la distancia al cañón por la que pasará el tanque, el proyectil impactará sobre el suelo a los 1,43 segundos del disparo (a una distancia del cañón de 143 m), mientras que el tanque pasa por debajo del puente más tarde, a los 5,01 segundos. Luego no habrá impacto del proyectil sobre el tanque.

  19. wilber dice:

    Buen aporte, bueno pata practicar

  20. Jesús Padilla dice:

    muy buenos ejercicios, el ultimo sí me hizo pensar

  21. Luis Alfredo Cervantes Acuña dice:

    En el ejercicio 2, en el del hombre que patea el balón desde la calle hacia el patio del colegio, parece que hay un error en la respuesta. La respuesta correcta es que la altura del balón, en el momento en que llega al muro, es y= 11.89 metros, aproximadamente. Por tanto, el hombre si logra enviar la pelota de regreso al interior del colegio.

  22. kevin dice:

    ejercicio.numero.2

  23. kevin dice:

    buenas.noches.
    creo.que.el.ejercicio.esta.malo
    a.mi.me.da.11,93m,en.altura.
    confirme.si.yo.estoy.equivocado.o.no?

  24. javier dice:

    el primer ejercicio esta malo ya que la magnitud de la velocidad inicial es 35 m/s
    y cuando descompone para calcular la velocidad en x y en y utiliza 26 m/s

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