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Intervalo de confianza

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Un intervalo de confianza es un rango de valores en los cuales se estima que estará el valore verdadero de un parámetro.

Tengamos X=(X1,…,Xn) una muestra aleatoria, sea θ un parámetro desconocido y 0<α<1. Entonces S(X)=(θ(1) (X),θ(n)(X)) es un intervalo de confianza con nivel de confianza 100(1-α)% si


Fórmula de la condición de intervalo de confianza

En otras palabras, en el 1-α% de veces que hiciesemos el intervalos de confianza, éste contendría el verdadero valor. Por lo general se trabaja en intervalos de confianza del 95% o incluso del 99%.

La inferencia puntual depende directamente de la muestra escogida. Podría variar en el caso de que escogiésemos otra muestra, dando la sensación de que la estimación no es correcta.

Por lo tanto, es preferible perder precisión en la estimación pero ganar en confianza de predicción del estimador. Es preferible dar un intervalo de valores en el que tengamos confianza en que el valor del parámetro está dentro.

Método del pivote

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El método del pivote para estimar intervalos de confianza es uno de los principales. Consiste en identificar una función pivote p(T,θ) la distribución de la cual es independiente de θ y conocida. El pivote es función de θ y de una estimación puntual del parámetro.

Después elegimos un nivel de confianza 1-α y buscamos el intervalo de confianza [a,b] tal que a y be cumplen que:


Fórmula de la definición del pivote

Tendremos que manipular y resolver esta desigualdad para encontrar los valores a y b.

Podemos ver los intervalos de confianza calculados mediante el método de los momentos en varios ejemplos de intervalo de confianza.

Ejercicios

Distribución normal con varianza conocida – Intervalo para la media μ

Tenemos una muestra aleatoria X=(X1,…,Xn) de una normal N(μ,σ2) con la varianza σ2 desconocida y queremos estimar el valor de la media μ.

La media es un estimador razonable. Tipificando su distribución obtenemos el pivote:


Fórmula del pivote para μ siendo la varianza conocida

Entonces el intervalo de confianza 1-α es:


Fórmula del pivote para la media μ siendo la varianza conocida

Distribución normal con media y varianza desconocida – Intervalo para la media μ

Tenemos una muestra aleatoria X=(X1,…,Xn) de una normal N(μ,σ2) con la media μ y la varianza σ2 desconocida. Vamos a buscar el intervalo de confianza de la media μ.

Aplicando fórmulas estadística obtenemos el pivote:


Fórmula del pivote para la media μ siendo la media y la varianza desconocidas

Por simetria de la t-student y aislando μ obtenemos el intervalo de confianza:


Fórmula del intervalos de confianza para la media μ siendo la media y la varianza desconocidas

Distribución normal con media y varianza desconocida – Intervalo para la varianza σ2

Supongamos una distribución normal N(μ,σ2) y una muestra aleatoria de la variable X=(X1,…,Xn) con la media μ y la varianza σ2 desconocida. Vamos a buscar el intervalo de confianza de la varianza σ2.

El pivote es:


Fórmula del pivote para la varianza siendo la media y la varianza desconocidas

Aplicando normas de la χ2 y aislando obtenemos:


Fórmula del intervalo de confianza para la varianza siendo la media y la varianza desconocidas

Distribución uniforme (Un(0,θ)) – Intervalo para θ

Sea X=(X1,…,Xn) una muestra aleatoria de una uniforme (Un(0,θ)). Obtengamos un intervalo de confianza para θ.

X(n) es el máximo de los elementos de la muestra. Sabiendo que X(n) es el estimador de máxima verosimilitud tenemos el pivote:


Fórmula del pivote para θ en una uniforme (Un(0,θ))

Operando obtenemos el intervalo de confianza:


Fórmula del intervalo de confianza para θ en una uniforme (Un(0,θ))

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