Estimador puntual

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Un estimador puntual de un parámetro θ es una predicción de θ que puede considerarse representativo. El estimador es una función de la muestra.

Ejemplos:

  1. Seleccionamos aleatoriamente una muestra de 500 personas de una ciudad y las medimos. Queremos predecir cual es la media de la altura de la población de la ciudad sabiendo que la altura sigue una distribución normal.
  2. Ver si una moneda está equilibrada y la lanzamos al aire 100 veces. Queremos estimar que la probabilidad de que salga cara es 0,5, sabiendo que sigue una distribución Bernouilli de parámetro p (Be(p)).

Los métodos de estimación puntual son:

Método de momentos

Tenemos una variable aleatoria X. Tenemos dos casos: que la variable siga una distribución puntual (pX(x)) o que siga una distribución continua (fX(x)).

Definimos los momentos de orden k como:


Fórmula de los momentos de orden k

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Y definimos los momentos muestrales de orden k como:


Fórmula de los momentos muestrales de orden k

El método de los momentos consiste en igualar los momentos poblacionales con los momentos muestrales, para hacer un sistema de k ecuaciones con k incógnitas, siendo k el número de parámetros que se quiere estimar.

Método de máxima verosimilitud

Sea (X1,…,Xn) una muestra aleatoria con una función de distribución f(x|θ).

Definimos la función de verosimilitud como:


Fórmula de la función de verosimilitud

El estimador de θ en el método de máxima verosimilitud es el valor que maximiza la función de verosimilitud. Este valor se llama estimador de máxima verosimilitud (EMV(θ)).

Normalmente calcularemos el máximo del logaritmo de la función de verosimilitud puesto que los máximos coinciden y este resultará más fácil. Sea:


Fórmula del logaritmo de la función de verosimilitud

Por lo que el estimador de máxima verosimilitud viene definido como:


Fórmula del estadístico de máxima verosimilitud


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1 respuesta

  1. Francisco dice:

    Super bien esta pagina me ayuda mucho, conceptos claros, prácticos, solo agregaria algunos ejemplos algo asi como del casella y berger, o un poco menos como el wackerly,
    saluds !

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