Varianza

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La varianza (S2) mide la dispersión de los datos de una muestra (X1,X2,…,XN) respecto a la media (x), calculando la media de los cuadrados de las distancias de todos los datos.

Fórmula de la varianza muestral

Representación gráfica de la varianza

Al elevar las diferencias al cuadrado se garantiza que las diferencias absolutas respecto a la media no se anulan entre si. Además, resaltan los valores alejados.

Siempre se cumple que la varianza es mayor o igual que cero (SX2 ≥ 0). Ésta es cero cuando todos los datos son el mismo (ejemplo: {1,1,1,1,1}).

Para datos agrupados, la fórmula de la varianza muestral será:

Fórmula de la varianza muestral para datos agrupados

Si en vez de tratarse de una muestra, la varianza se refiere a la población, el denominador será N.

La fórmula de la varianza poblacional, de símbolo σ², es:

Fórmula de la varianza poblacional

La razón de las dos expresiones de la varianza es que de una población se pueden extraer diversas muestras. No tiene por qué coincidir sus varianzas con la varianza de la población, ni siquiera las varianzas muestrales entre sí. Normalmente, en la varianza muestral, dividiendo por N se obtendrían varianzas ligeramente menores. Por eso, se corrige, dividiendo por N – 1. A esta varianza muestral corregida, SX2, se le denomina también cuasivarianza. Reduce el sesgo, (se le llama estadístico insesgado).

Cuanto mayor sea N menor será la diferencia entre el resultado de la fórmula SX2 y la de σ2.

Un inconveniente de la varianza es que sus unidades son las unidades de los datos al cuadrado.

Ejercicios

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Ejercicio 1

Un médico de un instituto quiere realizar un estudio para ver si los alumnos de un centro tienen sobrepeso. Le interesaría estimar la varianza para ver como difieren los pesos respecto a la media. Para ello, se selecciona una muestra de doce alumnos de 14 o 15 años.

Tabla de los pesos de 12 alumnos de 14 o 15 años.

Se calcula la media de los pesos de estos alumnos, y se obtiene que es de x = 53,5kg.

Una vez se sabe la media, se halla la diferencia de cada elemento respecto a esta, para calcular la dispersión de los datos.

Tabla con los cálculos necesarios para calcular la varianza.

Una vez se ha calculado el cuadrado de la diferencia de cada elemento con la media, ya se puede determinar la varianza (S2):

Cálculo de la varianza de las alturas mediante su fórmula.

El valor alto de la varianza confirma una de sus características: que es sensible a los valores que se separan bastante de la media.

A continuación se puede observar un gráfico de las diferencias del peso de cada alumno respecto a la media:

Representación gráfica de la varianza en un ejemplo del peso de doce alumnos de un instituto.

Ejercicio 2

Estimar la varianza de las estaturas de niños de 10 años de una ciudad. La muestra estudiada es de 400 sujetos. Las estaturas medidas (Xi), agrupadas en frecuencias (ni), se anotan en la primera y segunda columna de esta tabla respectivamente.

Datos del ejemplo 2

En el paso 1 se ha obtenido la media. Después se rellenan las columnas con las diferencias y los cuadrados de las diferencias, para, finalmente, paso 2, aplicar la fórmula de la varianza muestral (o cuasivarianza):

Resultados del ejemplo 2

Y su valor es de SX2 = 0,005 m2. Esta varianza muestral tan reducida indica que las estaturas están muy agrupadas entorno a la media.


AUTOR: Bernat Requena Serra


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12 comentarios en “Varianza”

    1. La fórmula de la varianza. En esta página.
      Dividir el total de la última columna por N – 1

  1. xi
    36
    37
    38
    39
    40
    41
    Total
    Ni
    36/25=1,4
    37/25=0,675
    38/25=1,52
    39/25=1,56
    40/25=1,6
    41/25=1,64

    fi
    5
    2
    8
    5
    3
    2
    25
    Fi
    5
    5+2=7
    2+8=10
    8+5=13
    5+3=8
    3+2=5

    como se calcula la varianza la desviacion tipica y el coeficiente de variacion

    1. Debes construirte la tabla de datos según las necesidades de cada parámetro o estadístico que vayas a calcular.
      Para la varianza, tienes la fórmula en esta página.
      Consulta las páginas: Desviación típica (o desviación estándar) y Coeficiente de variación de Pearson en UNIVERSO FÓRMULAS.
      Ten en cuenta que si tus datos provienen de una muestra, en la varianza y en la desviación típica debes dividir por N – 1. Si son de una población, dividir por N (N es el número de casos o de sujetos).
      De las tres medidas de dispersión, el CV no tiene unidades, la desviación típica se mide con las mismas unidades de los datos. Las unidades de la varianza son las de los datos al cuadrado.

  2. Hay quien usa para la varianza la fórmula Var= [Sumatoria(x^2 * X)]-X^2 (x= valor de la variable y X= media) ¿Sabría decirme el motivo.

    Gracias

    1. La descripción de distribuciones de valores extremos, como la de tipo II o de Fréchet que propones, no entra dentro de los propósitos y alcance de esta web.
      Lo siento.

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