Media (promedio o media aritmética)

Media

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La media x (también llamada promedio o media aritmética) de un conjunto de datos (X1,X2,…,XN) es una medida de posición central. La definimos como el valor característico de la serie de datos resultado de la suma de todas las observaciones dividido por el número total de datos.

Fórmula de la media

Es decir:

Fórmula de la media desarrollada
Dibujo de la media de las alturas de seis personas

Si se trata de los datos (X1,X2,…,XN) de una muestra, estaremos en la media muestral. Si el conjunto de datos es toda la población, se llama media poblacional. Cuando se trata de la media de una población, este parámetro suele caracterizarse con la letra griega μ. El estadístico media muestral y la medida media poblacional son dos conceptos distintos, ya que el primero es un valor estimado a partir de una muestra mientras que el segundo es un valor medido sobre una población. Pero la fórmula para hallarlos y su valor numérico es el mismo:

Fórmula de la media poblacional

Visto desde un punto de vista más conceptual, la media aritmética es el centro de los datos en el sentido numérico, ya que intenta equilibrarlos por exceso y por defecto. Es decir, si sumamos todas las diferencias de los datos a la media es cero.

Fórmula de la propiedad de la media aritmética como medida centralizadora que equilibra los datos

La media aritmética es muy útil para hacer comparacions entre varias poblaciones.

La desventaja de la media aritmética es que si hay valores extremos alejados, no resulta el promedio más indicado.

Ejercicio 1

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Tenemos las edades de los once jugadores de un equipo de fútbol y queremos calcular su media.

Muestra de edades de los once jugadores de un equipo

Solución:

Para ello, sumamos todas las edades y las dividimos por el número total de elementos, o sea once jugadores.

Ejemplo de cáculo de media

Media a partir de las frecuencias

En un conjunto de datos discretos agrupados en frecuencias, podemos calcular el promedio o media aritmética a partir de las frecuencias relativas de las observaciones distintas.

El sumatorio está extendido a las observaciones diferentes de los datos.

Fórmula de la media a partir de las frecuencias relativas

También con datos discretos agrupados, podemos hallar la media aritmética mediante las frecuencias absolutas.

Fórmula de la media a partir de las frecuencias absolutas

Ejercicio 2

Tenemos una distribución con valores agrupados en frecuencias. Hallar el valor de la media aritmética mediante las frecuencias absolutas y con las frecuencias relativas. Comprobar que se obtiene el mismo resultado:

Solución:

Se construye la tabla de frecuencias a partir de los datos iniciales de valores y de frecuencias absolutas. Se añade el de las frecuencias relativas y las dos columnas necesarias para la obtención del resultado:

Tabla del ejemplo 2

Aplicacando la fórmula de la media de datos agrupados mediante las frecuencias absolutas:

Cálculo de la media por frecuencias absolutas en el ejemplo 2

Ahora con la fórmula de la media de datos agrupados, siempre según los resultados de la tabla, mediante las frecuencias relativas:

Cálculo de la media por frecuencias relativas en el ejemplo 2

Se ha obtenido, como se esperaba, el mismo valor, un promedio de 119,24.

Otros tipos de media

La media aritmética es la más conocida. Existen otros tipos de promedios como medida de posición central, que según el tipo de datos será un indicador más representativo o indicado que la media aritmética.

  • Media geométrica: se calcula sobre un conjunto de números estrictamente positivos. Es la raíz N-ésima del producto de los N elementos. Está indicada para calcular medias de porcentajes, tantos por uno, puntuaciones o índices. Tiene la ventaja de que no es tan sensible a los valores extremos.
  • Media armónica: es el recíproco de la suma de los recíprocos (donde 1/Xi es el recíproco de Xi)) multiplicado por el número de elementos del conjunto. Suele utilizarse principalmente para calcular la media de velocidades, tiempos o en electrónica.
  • Media cuadrática: se define como la raíz cuadrada del promedio de los elementos al cuadrado. La media cuadrática es muy útil para variables que toman valores negativos y positivos y su signo no es importante e interesa el valor absoluto del elemento. Por ejemplo, los errores de medida, el valor eficaz de un parámetro sinusoidal en electricidad, etc.
  • Media ponderada: consiste en otorgar a cada observación del conjunto de datos unos pesos según la importancia de cada elemento. Tiene numerosas aplicaciones, como el cálculo del IPC (Índice de Precios de Consumo), calcular la nota media de una asignatura ponderando exámenes, trabajos, etc.

Relación entre medias

Existe una relación de orden entre cuatro tipos de media. En esta relación se excluye la media ponderada porque depende de los pesos. Sean:

Entonces:

Fórmula de la relación entre la media armónica, media geométrica, media aritmética y media cuadrática

En esta relación, solamente se cumple la igualdad cuando todos los datos sean iguales, es decir si: x1 = x2 = x3 = … = xN.

Se da la siguiente relación, en el caso de distribuciones de solamente dos datos, sean estos los que sean:

Fórmula de la relación entre la medias cuando hay dos datos

Cuando en la distribución hay solamente dos datos, la media geométrica es la media geométrica entre la media aritmética y la media armónica.

Esta relación se convierte en una aproximación, cuando, habiendo múltiples valores, estos están muy agrupados en torno a la media.

Fórmula por aproximación con múltiples factores de la relación entre la medias

AUTOR: Bernat Requena Serra


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14 comentarios en “Media”

    1. La media cuadrática y la media aritmética son dos medidas de posición central.
      Sus unidades son las unidades de los elementos.
      Consulta sus fórmulas y verás que tienen poco que ver, salvo el juego de palabras.
      Si elevas la media al cuadrado, tendrás unidades al cuadrado, sin ningún significado estadístico.

    1. Sumas todas las multiplicaciones de frecuencia absoluta por los datos y luego dividís, como lo explica arriba.

    1. Tienes la fórmula de la media con datos a partir de la tabla de frecuencias en esta misma página. Si usas la frecuencia absoluta, debes dividir el sumatorio por el número total de casos N.

  1. Pingback: Media ponderada | Que no te aburran las M@TES

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