Media armónica

Media armónica

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La media armónica (H) de un conjunto de elementos no nulos (X1, X2,…,XN) es el recíproco de la suma de los recíprocos (donde 1/Xi es el recíproco de Xi)) multiplicado por el número de elementos del conjunto (N).

Fórmula de la media armónica

La media armónica es la recíproca de la media aritmética. Los elementos del conjunto deben ser necesariamente no nulos. Esta media es poco sensible a los valores grandes y los infravalora respecto a la media aritmética, pero muy sensible a los valores próximos a cero, ya que los recíprocos 1/Xi son muy altos, por lo que les da más peso que en las medias aritmética y geométrica. Si algún valor fuese cero, la media armónica quedaría indeterminada.

Ésta no tiene un uso muy extenso en el mundo científico. Suele utilizarse principalmente para calcular la media de velocidades, tiempos o en electrónica.

Ejercicio

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Un tren realiza un trayecto de 400km. La vía tiene en mal estado que no permitían correr. Los primeros 100 km los recorre a 120km/h, los siguientes 100km la vía está en mal estado y va a 20km/h, los terceros a 100km/h y los 100 últimos a 130km/h. Para calcular el promedio de velocidades, calculamos la media armónica.

Cálculo de la media armónica en el ejemplo de la velocidad de un tren

La media armónica es de H=52,61km/h.

Ejemplo del tren para el cálculo de la media armónica

Relación entre medias

Existe una relación de orden entre cuatro tipos de media. En esta relación se excluye la media ponderada porque depende de los pesos. Sean:

Entonces:

Fórmula de la relación entre la media armónica, media geométrica, media aritmética y media cuadrática

En esta relación, solamente se cumple la igualdad cuando todos los datos sean iguales, es decir si: x1 = x2 = x3 = … = xN.

Se da la siguiente relación, en el caso de distribuciones de solamente dos datos, sean estos los que sean:

Fórmula de la relación entre la medias cuando hay dos datos

Cuando en la distribución hay solamente dos datos, la media geométrica es la media geométrica entre la media aritmética y la media armónica.

Esta relación se convierte en una aproximación, cuando, habiendo múltiples valores, estos están muy agrupados en torno a la media.

Fórmula por aproximación con múltiples factores de la relación entre la medias

AUTOR: Bernat Requena Serra


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54 comentarios en “Media armónica”

  1. Brian Vásquez Lozada

    Agradecería me puedan ayudar con este problema:
    Calcule la media armónica de los 10 primeros términos de la siguiente sucesión: 8, 24, 48, 80,…
    Gracias de antemano. Saludos cordiales.

    1. El término general de esta sucesión es:
      4(n² + n)
      Halla los 10 primeros términos y calcula la media armónica H
      H = 44

  2. a. Para el siguiente conjunto de datos (25, 8, 13, 12, 44) ¿cuál es el valor de la media armónica?
    A) 18,13 B) 14,37 C) 11,13 D) 8,15
    b. Para el siguiente conjunto de datos (4, 9, 25, 36, 49) ¿cuál es el valor de la media armónica?
    A) 18,13 B) 14,37 C) 11,13 D) 8,15
    c. Para el siguiente conjunto de datos (12, 15, 20, 25, 28) ¿cuál es el valor de la media armónica?
    A) 18,13 B) 14,37 C) 11,13 D) 8,15

    Ejercicios 3. Supóngase que las utilidades obtenidas por una compañía constructora en cuatro proyectos fueron de 3, 2, 4 y 6%, respectivamente. ¿Cuál es la media geométrica de las ganancias?

    Ejercicios 4. Selecciona la respuesta correcta.

    a. Para el siguiente conjunto de datos (25, 8, 13, 12, 44) ¿cuál es el valor de la media geométrica?
    A) 14,73 B) 16,88 C) 17,38 D) 19,07
    b. Para el siguiente conjunto de datos (4, 9, 25, 36, 49) ¿cuál es el valor de la media geométrica?
    A) 14,73 B) 16,88 C) 17,38 D) 19,07
    c. Para el siguiente conjunto de datos (12, 15, 20, 25, 28) ¿cuál es el valor de la media geométrica?
    A) 14,73 B) 16,88 C) 17,38 D) 19,07
    resuelvame esa de media armonica

    1. En esta página tienes la fórmula de la media armónica. Debes probar a resolverlo tu.
      La media armónica de a) es B 14,37, de b) es C 11,13 y de c) A 18,13.
      Para resolver la fórmula, debes manejarte con las fracciones. Consulta la página Operaciones con fracciones de UNIVERSO FÓRMULAS.
      Si, después de tratar de de resolver te queda alguna duda, me lo dices.

  3. Porque al calcular con las formulas me da los siguientes resultados:
    media aritmetica : =(2+32+125)/3= 53
    media geometrica= (2+32+125)^(1/3)=20
    media armonica= (3/(1/2)+(1/32)+(1//125))=5.56

    cuando compruebo el valor de la media geometrica sacando la raiz cuadrada de la media aritmetica por la media armonica el resultado es diferente

    1. Los tres resultados están bien (aunque los datos en G se multiplican bajo la raíz). Yo había interperetado que el primer dato era 232 porque había un extraño punto y coma.
      Respecto a lo último, solamente se verifica cuando hay dos datos. En este caso son tres y no están agrupados entorno a la media.
      Mira lo que dice el texto de la página:
      Cuando en la distribución hay solamente dos datos, la media geométrica es la media geométrica entre la media aritmética y la media armónica.

      Esta relación se convierte en una aproximación, cuando, habiendo múltiples valores, estos están muy agrupados en torno a la media.

    1. Supongo que será 232.
      Pero Dayanna, porqué no pruebas a aplicar las fórmulas de las tres medias?. Las tienes en UNIVERSO FÓRMULAS. Te resultará sencillo, seguro. Inténtalo y me dices.
      Tienes ejercicios que te ayudarán. Y podrás comprobar si se cumple la relación entre medias que te indica en esta página.
      Comprobarás que:
      162,46 ≤ 170,29 ≤ 178,5

    1. Plantea las dos ecuaciones y resuélvelas:
      42 = 2 / [(1/x) + (1/y)]
      56 = (x + y) / 2
      Solución:
      x = 84
      y = 28
      x – y = 56

  4. como encuentro la media armonica de dos numeros con punto decimal hablando de horas ?
    estas serian las cantidades 6.5 horas y 7.3 horas

    1. El mismo procedimiento y no se suprimen. Es la media armónica de ese conjunto de valores.

    1. Puedes, en una tabla, en la primera columna poner los datos. En la siguiente columna, sus reciprocos. Los sumas al final de la segunda y tienes el denominador.
      Dividir N por el denominador.

    1. Aplica la fórmula de esta página
      H = 8 / [(1/24)+(1/26)+(1/21)+(1/29)+(1/18)+(1/15)+(1/24)+(1/25)]

  5. Se tiene tres ciudades A, B y C. La distancia que hay de B a C es el triple de la distancia de A a B; y la distancia C a A es el doble de la distancia de B a C. Un automovilista viaja de A a B a 70km/h de B a C a 75km/h y de C a A 85km/h. Determine el promedio de velocidad para el viaje completo.

  6. se sabe que la media aritmetica de 2 numeros es igual a 5 y la media geométrica de los mimos es igual a 4¿ cual es su media armónica?

    1. Media = (x1 + x2) / 2 = 5
      x1 = 10 – x2
      Media armónica = H = 2 / ((1 / x1) + (1 / x2))
      2 * (x1 + x2) = x1 * x2
      Sustituye x1 de la primera ecuación en la segunda y resuelve.
      Espero que te ayude

    1. Aplicar la fórmula de la media armónica a los 48 términos, que se forman al ir agregando a partir de primero sucesivamente la sucesión de números impares, empezando por el 7.

  7. Hola
    Alguien me podria ayudar en esto

    Un ciclista viaja a una velocidad de 20km por hora y se regresa a 30 km por hora ¿cual es la velocidad promedia?

    1. No Rufina. Consulta en UNIVERSO FÓRMULAS en esta misma página: media armónica.
      El promedio de velocidades buscado es:
      2 / [(1/20) + (1/30)] = 24 Km/h

    1. La desviaciòn estandar es una medida de dispersión referida a la media aritmética o promedio.

    1. La media aritmética nunca puede ser menor que la media armónica.
      En el caso de que estuviese invertido y que MA = 16/3 y H = 3 (siempre de dos cantidades, como dices) la media geométrica G sería:
      G = √(MA*H) = √(3*16/3) = 4

    1. MG = √(M*H);
      4 = √(16*H)
      16 = 16*H
      H = 1
      Esta relación entre medias se cumple cuando son las medias de dos valores. Es una buena aproximación cuando son muchos valores muy agrupados alrededor de la media.

    1. En la fórmula de la media armónica, el denominador es una suma de fracciones.
      Para sumarlas hay que convertirlas con común denominador. El resultado da una fracción en el denominador cuyo numerador es 593. El común denominador, 7800.

  8. Miguel Bautista Moscol

    Les agradezco por su pagina.
    Tengo un problema y necesito saber los pasos a seguir.
    Los datos corresponden a las notas obtenidas por 10 alumnos de Derecho de la UPLA

    12,18,11,08,12,13,12,15,16,14.

    Necesitar saber la Media Armónica y la Media Geométrica.

    Muchas gracias.

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