Cuartiles

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Los cuartiles son los tres elementos de un conjunto de datos ordenados que dividen el conjunto en cuatro partes iguales.

Distinguimos los casos en que los datos están agrupados en frecuencias y los que no lo están. Los datos también pueden estar agrupados en intervalos de valores.

Datos no agrupados

Vayamos a datos no agrupados. Para el cuartil 1 (Q1) y cuartil 3 (Q3) hallaremos su posición mediante los siguientes pasos:

(N+1)/4 y 3(N+1)/4 pueden resultar números decimales. Por ejemplo, si el conjunto de datos es de 20 elementos, N=20, tendremos que el sujeto del primer cuartil es el (N+1)/4=(20+1)/4=21/4=5,25. ¿Qué hacemos en el caso de que nos de un número decimal?

Diferenciaremos dos casos:

  • Sin parte decimal: elegimos ese mismo sujeto. Por ejemplo, si el conjunto tiene 19 elementos, (N+1)/4=(19+1)/4=20/4=5, por lo que el primer cuartil será Q1=X5.
  • Con parte decimal: supongamos que el elemento es un número con parte decimal entre el sujeto i y el i+1. Sea un número de la forma i,d donde i es la parte entera y d la decimal. El cuartil será:
    Fórmula del primer y tercer cuartil que tienen parte decimal

Podéis ver un ejemplo práctico en el siguiente apartado.

El cálculo del segundo cuartil (Q2) depende de si el número de sujetos N es par o impar. Al ser la mediana, se utiliza el procedimiento de cálculo de la mediana.

Datos agrupados en frecuencias

Hay que seguir este proceso paso a paso:

  • Calcular las posiciones en las que estarán los tres cuartiles (nºQ1, nºQ2 y nºQ3):
  • Fórmula de los cuartiles de datos agrupados en frecuencias
  • Determinar en qué intervalos (Ii) están ubicadas estas tres posiciones, viéndolo en la columna de frecuencias absolutas acumuladas de la tabla.
  • Si alguna de esas tres posiciones calculadas fuera un número entero, el dato correspondiente a esa posición será el cuartil buscado.
  • La fórmula para calcular los cuartiles en datos agrupados es:
    Fórmula del cuartil buscado de datos agrupados en frecuencias

    Donde Qc es uno de los tres cuartiles, Li, el límite inferior del intervalo Ii en qué está cada cuartil, nºQc, la posición calculada del cuartil, Ni – 1 la frecuencia absoluta acumulada del intervalo anterior, ni, la frecuencia absoluta del intervalo en donde está el cuartil.

Características de los cuartiles

  • El cuartil 1 (Q1) es el percentil 25 (P25). El 25 % de los datos son menores o iguales a Q1.
  • El cuartil 2 (Q2) es la mediana y el percentil 50 (P50). El 50 % de los datos son menores o iguales a Q2.
  • El cuartil 3 (Q3) es el percentil 75 (P75). El 75 % de los datos son menores o iguales a Q3.

Ejercicios

Ejercicio 1

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Sea un conjunto de la edad de los veinte integrantes (N=20) de un club. Supongamos que el conjunto está ordenado:

Dibujo del conjunto de la edad de los veinte integrantes de un club

Primer cuartil

El primer cuartil será el sujeto (N+1)/4=21/4=5,25. Como es decimal, el cuartil será un número entre el X5=28 y X6=29.

Dibujo de los elementos del conjunto utilizados para calcular el cuartil 1.

El número decimal es el 5,25, por lo que i=5 y d=0,25. El cuartil 1 es:

Ejemplo del cálculo del cuartil 1

Segundo cuartil

El segundo cuartil es la mediana. Al ser un conjunto con un número par de elementos, el cuartil es la media de los sujetos N/2=20/2=10 y N/2+1=20/2+1=11.

Dibujo de los elementos del conjunto utilizados para calcular el cuartil 2.

Es decir, será la media de X10=34 y X6=37.

Ejemplo del cálculo del cuartil 2

Tercer cuartil

El tercer cuartil es el sujeto 3(N+1)/4=63/4=15,75. Como el número es decimal, el cuartil estará entre X15=52 y X16=53.

Dibujo de los elementos del conjunto utilizados para calcular el cuartil 3.

El número decimal es el 15,75, por lo que i=15 y d=0,75. El cuartil 3 es:

Ejemplo del cálculo del cuartil 3

Ejercicio 2

Calcular los tres cuartiles de la distribución de datos agrupados reflejados en esta tabla:

Tabla en el ejercicio 2

Solución:

Se calculan las posiciones de los tres cuartiles. El número da datos N son 60:

Posiciones en el ejercicio 2

Cada cuartil aparece en su intervalo, a partir de la columna de la frecuencia acumulada Ni. Aparecen sombreadas las frecuencias acumuladas de los intervalos anteriores Ni – 1.

Tabla 2 en el ejercicio 2

Con estos datos se calculan los tres cuartiles, sabiendo que la amplitud del intervalo Ii es 4:

Cálculo de los tres cuartiles en el ejercicio 2

AUTOR: Bernat Requena Serra


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55 comentarios en “Cuartiles”

  1. Daniel Bustamante

    Saludos, comparando con EXCEL, el resultado difiere un poco. Por ejemplo, el primer cuartil para el primer ejemplo, en Excel es 28.75. ¿Hay otra forma de hallar los cuartiles de manera que coincida con Excel?
    Gracias.

    1. Como se dice en el comentario del 26/3/2020:
      No existe un procedimiento único para el cálculo de los cuartiles.
      En Excel, si usas la función «CUARTIL.EXC» obtienes 28,25. Y si usas «CUARTIL.INC» obtienes, efectivamente 28,75″.

  2. ayuda me podrian resolver esto: Los datos siguientes corresponden a los tiempos de reacción de una muestra
    de 32 sujetos, medidos en centésimas de segundo:
    45,48,49,50,51,52,53,54,55,56,56,57,57,58,58,59,60,61,61,62,62,63,63,63,64,64,65,66,67.,68,70,72

    1. Tienes los datos ordenados, el procedimiento en esta página y ejemplos resueltos.
      Merece la pena que lo intentes.

  3. Hola, para calculara los tres cuartiles no sería de igual manera correcto, hallar la mediana del total de datos para el cuartil 2 y luego las medianas de la primera y segunda mitad de datos para los cuartiles 1 y 3 respectivamente?

  4. Sin embargo, los cuartiles equivalen a los percetiles 25, 50 y 75% respectivamente, por lo que, si se utilizan las formulas de perceptiles en esos valores debería de obtener los mismos resultados. Y eso no siempre sucede con las formúlas que se aportan en esta página.
    Eso es debido, a que luego de calcular la mediana (Q2), las dos mitades resultantes pueden quedar distribuidas como datos pares o impares. Por lo que las formulas cambian. Por ejemplo: si los datos originales son 10 la mediana los dividen en dos secciones de 5 y 5, pero si son 8 la mediana los divide en dos secciones de 4 y 4. En el primer casos la distribución restante es impar y en el segundo es par. Por lo que, los calculos de Q1 y Q2 es distinto.

    1. No existe un procedimiento único para el cálculo de los cuartiles. Aquí se utiliza el Minitab. Si los elementos son pares o impares está contemplado en la página. Es llevar parte decimal o no.

    1. Los dos primeros párrafos de la página pueden responder a tu duda:
      «Los cuartiles son los tres elementos de un conjunto de datos ordenados que dividen el conjunto en cuatro partes iguales.

      Distinguimos los casos en que los datos están agrupados en frecuencias y los que no lo están. Los datos también pueden estar agrupados en intervalos de valores.»
      Lo importante es que los datos estén ordenados, independientemente de que estés agrupados o no.

    1. El cálculo del segundo cuartil es igual al cálculo de la mediana
      Si el número es par, el segundo cuartil será la media de los dos valores ordenados centrales.

  5. ADNRES DIVENSTY

    TENGO UNA DUDA, EN OTRAS PAGINAS WEB DIFIEREN CON LA FORMULA PARA CUARTILES, YA QUE CONSIDERAN SI «N» EL NUMERO DE MUESTRAS ES PAR O IMPAR, cual formula es el correcto???

  6. ADNRES DIVENSTY

    tengo una consulta; en otras paginas web, la formula para hallar el cuartil varia si el «n» (numero de observaciones) es par o impar, cual seria el correcto?…
    ademas en el excel; existen dos funciones para cuartiles: cuartil.inc y cuartil.exc, segun pude indagar esta tambien varia en la formula que se emplea, ya que para la primera utiliza en la formula (n-1) y en la seguna (n+1).

  7. No entiendo la finalidad de esa tremenda formula… cual es el sentido de hacer la resta «(Xi + 1 – Xi)» si la diferencia de un numero x con su antecesor siempre dará 1… y cualquier numero multiplicado por 1 dará el mismo numero… absurdo.

    Con «Xi – d» es mas que suficiente.

    1. no es un número con su antecesor es un dato con el dato siguiente que bien pueden ser enteros consecutivos o no.

    2. La forma de determinar los cuartiles no es unánime. Esta es una. Lo importante es dividir una distribución ordenada en cuatro tramos. Hay tres cuartiles.

    3. no siempre sale uno, ademas si es que la diferencia es mayor a uno el resultado es incoherente, pienso que debes revisar tu formula porque tiene un error

  8. En el primer cuartil sale 28,25. Es curioso que en otros sitios solo suman la posición 5 y 6 entre 2 y les sale 28,5 pero yo creo que 28,25 es la respuesta correcta.

    1. No señora. Aprende a sumar por favor. como va a ser 28.75 cuando el decimal es 0.25? y como va a ser 52.25 si el decimal es 0.75?

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